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【题目】在正方形中,点边上一点,连接.

1 2

1)如图1,点的中点,连接.已知,求的长;

2)如图2,过点的垂线交于点,交的延长线于点,点为对角线的中点,连接并延长交于点,求证:.

【答案】1;(2)证明见解析.

【解析】

1)作于点,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出,在中,利用三角函数求出BPFP,在等腰三角形中,求出BE,再由勾股定理求出AB,进而得到BCCP,再次利用勾股定理即可求出CF的长度.

2)过垂直于点,得矩形,首先证明,得,再证明,可推出得.

解:(1中,为中线,

.

于点,如图,

中,

在等腰三角形中,

由勾股定理求得

2)过垂直于点,得矩形

ABCD

∴∠MAO=GCO

在△AMO和△CGO中,

∵∠MAO=GCOAO=CO,∠AOM=COG

∴△AMO≌△CGOASA

AM=GC

∵四边形BCGP为矩形,

GC=PBPG=BC=AB

AEHG

∴∠H+BAE=90°

又∵∠AEB+BAE=90°

∴∠AEB=H

在△ABE和△GPH中,

∵∠AEB=H,∠ABE=GPH=90°AB=PG

∴△ABE≌△GPHAAS

BE=PH

又∵CG=PB=AM

BE=PH=PB+BH=CG+BH=AM+BH

AM+BH=BE.

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