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【题目】如图1,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A(3,0),B(0,4)两点,动点P从A出发,在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD⊥y于点D,交抛物线于点C.设运动时间为t(秒).

(1)求二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式;
(2)连接BC,当t= 时,求△BCP的面积;
(3)如图2,动点P从A出发时,动点Q同时从O出发,在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动.当点P与B重合时,P、Q两点同时停止运动,连接DQ,PQ,将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE.在运动过程中,设△DPE和△OAB重合部分的面积为S,直接写出S与t的函数关系及t的取值范围.

【答案】
(1)

解:把A(3,0),B(0,4)代入y=﹣x2+bx+c中得:

解得

∴二次函数y=﹣x2+bx+c的表达式为:y=﹣x2+ x+4


(2)

解:如图1,

当t= 时,AP=2t,

∵PC∥x轴,

∴OD= = × =

当y= 时, =﹣x2+ x+4,

3x2﹣5x﹣8=0,

x1=﹣1,x2=

∴C(﹣1, ),

则PD=2,

∴SBCP= ×PC×BD= ×3× =4


(3)

解:如图3,

当点E在AB上时,

由(2)得OD=QM=ME=

∴EQ=

由折叠得:EQ⊥PD,则EQ∥y轴

∴t=

同理得:PD=3﹣

∴当0≤t≤ 时,S=SPDQ= ×PD×MQ= ×(3﹣ )×

S=﹣ t2+ t;

<t≤2.5时,

如图4,

P′D′=3﹣

点Q与点E关于直线P′C′对称,则Q(t,0)、E(t, ),

∵AB的解析式为:y=﹣ x+4,

D′E的解析式为:y= x+ t,

则交点N( ),

∴S=SPDN= ×P′D′×FN= ×(3﹣ )( ),

∴S= t2 t+


【解析】(1)直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可;(2)如图1,要想求△BCP的面积,必须求对应的底和高,即PC和BD;先求OD,再求BD,PC是利用点P和点C的横坐标求出,要注意符号;(3)分两种情况讨论:①△DPE完全在△OAB中时,即当0≤t≤ 时,如图2所示,重合部分的面积为S就是△DPE的面积;②△DPE有一部分在△OAB中时,当 <t≤2.5时,如图4所示,△PDN就是重合部分的面积S.本题是二次函数的综合题,考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式,并能利用方程组求出两图象的交点,把方程和函数有机地结合在一起,使函数问题简单化;同时考查了分类讨论的思想,这一思想在二次函数中经常运用,要熟练掌握;本题还与相似结合,利用相似三角形对应边的比来表示线段的长.

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结合小敏的思路作答

(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由;参考小敏思考问题方法解决一下问题:
(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.
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②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.

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