Question

16．如图，∠MON=30°，点B₁、B₂、B₃…和A₁、A₂、A₃…分别在OM和ON上，且△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄、…分别为等边三角形，已知OA₁=1，则△A₂₀₁₄B₂₀₁₄A₂₀₁₅的边长为2²⁰¹³．

Answer 1

分析 首先由△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄、…分别为等边三角形，∠MON=30°，求得A₁B₁=OA₁=1，A₂B₂=OA₂=OA₁+A₁A₂=2，继而可得：△A₃B₃A₄的边长为4，△A₄B₄A₅的边长为8，则可得规律：△A_nB_nA_n+1的边长为：2^n-1；继而求得答案．

解答 解：∵△A₁B₁A₂是等边三角形，
∴∠B₁A₁A₂=60°，
∴∠OB₁A₁=∠B₁A₁A₂-∠MON=30°，
∴∠OB₁A₁=∠MON，
∴A₁B₁=OA₁=1，
∴△A₁B₁A₂的边长为1，
同理：∠OB₂A₂=∠MON=30°，
∴A₂B₂=OA₂=OA₁+A₁A₂=2，
∴△A₂B₂A₃的边长为2，
同理可得：△A₃B₃A₄的边长为4，△A₄B₄A₅的边长为8，
∴△A_nB_nA_n+1的边长为：2^n-1；
∴△A₂₀₁₄B₂₀₁₄A₂₀₁₅的边长为：2²⁰¹³．
故答案为：2²⁰¹³．

点评 此题考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意得到规律：△A_nB_nA_n+1的边长为：2^n-1是解此题的关键．