Question

如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）直接写出点A、C及顶点D的坐标；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点C的对应点为C′，若四边形AA′C′C为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记AC′与原抛物线的对称轴相交于点E，试在x轴上找点P，使得以点A、E、P为顶点的三角形与△A′C′E相似．

Answer 1

解：（1）∵，
∴当y=0时，x²+x-4=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴A点坐标为（-3，0）．
∵x=0时，y=-4，
∴C点坐标为（0，-4）．
∵y=x²+x-4=（x²+2x）-4=（x+1）²-，
∴顶点D的坐标为（-1，-）；

（2）∵四边形AA′C′C为菱形，
∴AA′=AC===5，
∴将A（-3，0）向右平移5个单位长度，得到A′（2，0），
∴将y=（x+1）²-向右平移5个单位长度得到平移后抛物线的表达式为y=（x-4）²-；

（3）设直线AC′的解析式为y=kx+b，
∵A（-3，0），C′点坐标为（5，-4），
∴，解得，
∴直线AC′的解析式为y=-x-，
当x=-1时，y=-×（-1）-=-1，
∴点E的坐标为（-1，-1），
∵A′（2，0），
∴A′E==，A′C′=AA′=5，C′E==3，AE==．
以点A、E、P为顶点的三角形与△A′C′E相似时，根据点P的位置分两种情况：
①如果点P在A点右边的x轴上；
∵四边形AA′C′C为菱形，
∴AA′=A′C′，
∴∠A′AC′=∠A′C′A．
∴当=时，△AEP∽△C′A′E，或者当=时，△AEP∽△C′EA′，
∴=，或者=，
解得AP=3，或者AP=，
∴P点坐标为P₁（0，0），P₂（-，0）；
②如果点P在A点左边的x轴上；
∵∠EAP＞90°，∠EA′C′＞90°，
∴以点A、E、P为顶点的三角形与△A′C′E相似时，A与A′一定对应．
∵tan∠EAO=，∠C′A′F=，
∴∠EAO＜∠C′A′F，
∴180°-∠EAO＞180°-∠C′A′F＞180°-∠C′A′F-∠EA′O，
∴∠EAP＞∠EA′C′，
∴此时，以点A、E、P为顶点的三角形与△A′C′E不可能相似．
综上所述，所求P点坐标为P₁（0，0），P₂（-，0）．
分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，求出x的值，得到A点坐标；令x=0，求出y的值，得到C点坐标；利用配方法将一般式写成顶点式，根据二次函数的性质得到顶点D的坐标；
（2）先根据菱形的四边相等得出AA′=AC=5，则由点向右平移，横坐标相加，纵坐标不变可知将A向右平移5个单位长度，得到A′，再根据图形的平移规律与图形上点的平移规律相同，及解析式左加右减的平移规律得出平移后抛物线的表达式；
（3）先运用待定系数法求出直线AC′的解析式，将x=-1代入，求出y的值，得到点E的坐标．再根据点P的位置分两种情况进行讨论：①如果点P在A点右边的x轴上；先由菱形的性质得出AA′=A′C′，则∠A′AC′=∠A′C′A，即A与C′一定对应，所以当=时，△AEP∽△C′A′E，或者当=时，△AEP∽△C′EA′，分别将数据代入计算即可求出AP的值，进而得到P点坐标为；②如果点P在A点左边的x轴上；先由∠EAP＞90°，∠EA′C′＞90°，得出以点A、E、P为顶点的三角形与△A′C′E相似时，A与A′一定对应，再证明∠EAP≠∠EA′C′，得出△AEP与△A′C′E不可能相似．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，点、图形平移的规律，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．