Question

19．一个二次函数的图象经过（-2，5），（2，-3），（4，5）三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）写出这个二次函数图象的与坐标轴的交点坐标．

Answer 1

分析 （1）设一般式y=ax²+bx+c，然后把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）先把（1）中解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解；
（3）分别计算函数值为0所对应的自变量的值和自变量为0时所对应的函数值，即可得到二次函数图象的与坐标轴的交点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=5}\\{4a+2b+c=-3}\\{16a+4b+c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
所以抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）y=（x-1）²-4，
这个二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-4）；
（3）当x=0时，y=x²-2x-3=-3，则二次函数与y轴的交点坐标为（0，-3）；
当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3．
则二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0）和（3，0）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．