Question

5．如图，点A（a，$\frac{20}{3}$）和点B（5，-4）都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上，过点A，B的直线与x轴交与点E，与y轴交与点F，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，连接CD．
（1）求点A的坐标及直线AB的解析式；
（2）求四边形ACDB的面积S；
（3）试判断四边形CDBE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点A（a，$\frac{20}{3}$）和点B（5，-4）都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上，首先求得解析式，继而求得点A的坐标；然后设直线AB的解析式为：y=mx+n，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）由（1）可求得各点的坐标，然后易证得四边形CDBE是平行四边形，利用S_{四边形ACDB}=S_△ACE+S_?CDBE，即可求得答案；
（3）由（2）可得四边形CDBE是平行四边形，易得CD=CE=5，即可判定四边形CDBE是菱形．

解答 解：（1）∵点B（5，-4）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上，
∴k=xy=5×（-4）=-20，
∴反比例函数的解析式为：y=-$\frac{20}{x}$，
∵点A（a，$\frac{20}{3}$）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上，
∴$\frac{20}{3}$a=-20，
解得：a=-3，
∴点A的坐标为：（-3，$\frac{20}{3}$）；
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=\frac{20}{3}}\\{5m+n=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{4}{3}}\\{n=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$；

（2）∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴点C的坐标为：（-3，0），点D的坐标为：（0，-4），
∴OC=3，OD=4，
∵直线AB交x轴于点E，
∴点E的坐标为：（2，0），
∴CE=OC+OE=5，AC=$\frac{20}{3}$，BD=5，OD=4，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴S_{四边形ACDB}=S_△ACE+S_?CDBE=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{20}{3}$+5×4=$\frac{110}{3}$；

（3）四边形CDBE是菱形．
理由：∵CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=5，
∴CD=CE=5，
∵四边形CDBE是平行四边形，
∴?CDBE是菱形．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求函数解析式、四边形的面积问题以及菱形的判定等知识．注意掌握利用割补的方法求面积是关键．