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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系内，四边形AOBC是菱形，点B的坐标是（4，0），∠AOB=60°，点P从点A开始沿AC以每秒1个单位长度向点C移动，同时点Q从点O以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿OB向右移动，设t秒后，PQ交OC于点R．
    （1）设a=2，t为何值时，四边形APQO的面积是菱形AOBC面积的；
    （2）设a=2，OR=，求t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式；
    （3）当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形与以O、B、C为顶点的三角形相似（只写答案，不必说理）．

    【答案】分析：（1）作AD⊥OB于D，根据等量关系S四边形APQO=S菱形AOBC列出方程，求出t的值；
    （2）作CH⊥x轴于H，菱形的性质得△OQR∽△CPR，得出比例式，求出t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式；
    （3）根据相似三角形的性质得当a=1时，△ORQ∽△OBC．
    解答：解：（1）作AD⊥OB于D，
    在Rt△AOD中，OA=4，∠AOD=60°，Sin60°=，，
    ∵S梯形APQO=，
    ∴当a=2时，S梯形APQO=．
    ∴由S梯形APQO=S菱形AOBC=．
    ∴．

    （2）作CH⊥x轴于H，
    在Rt△CBH中，BC=OB=4，∠CBH=∠AOB=60°，
    ∴cos60°=．
    ∴BH=4×=2，sin60°=．
    ∴CH=4×．
    在Rt△OCH中，由勾股定理得，OC=，
    ∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，
    ∴．
    另一方面，
    当a=2时，OQ=at=2t，PC=4-t，RC=OC-OR=，
    ∴=，
    ∴t=1，解得P（3，2），Q（2，0）．
    ∴解析式为．

    （3）当a=1时，△ORQ∽△OBC，理由如下：
    ∵AC∥OB，得△OQR∽△CPR，得，
    ∴OR=．
    ∴当，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OBC．
    此时，得，
    所以at-t=0，t（a-1）=0，
    ∴t=0（舍去）．
    ∵a-1=0，
    ∴a=1．
    当，∠ROQ=∠COB得△OQR∽△OCB．
    即，
    解得：at-t=8，
    a=1+．
    点评：本题考查了一次函数和实际相结合的问题，注意菱形，梯形的性质及相似三角形的性质的应用．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
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    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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