Question

如图，⊙P的半径为r，圆心P在抛物线y=ax²+c上运动．抛物线与x轴和y轴分别交与点A（1，0）点B（0，-1）．
（1）求：抛物线的解析式．
（2）当r=1，且⊙P与x轴相切时，求点P的坐标．
（3）是否存在⊙P满足⊙P与x轴和y轴同时相切？若存在请确定点P的个数并求出r的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法即可求得解析式；
（2）根据⊙P的半径为1，以及⊙P与x轴相切，即可得出y=1，求出x的值即可得出答案．
（3）根据设P（m，m²-1），利用⊙P与两坐标轴都相切，则|x|=x²-1求出即可，

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+c与x轴和y轴分别交与点A（1，0）点B（0，-1），
∴

0=a+c -1=c

，解得

a=1 c=-1

，
∴抛物线的解析式为：y=x²-1；

（2）∵⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y=x²-1上运动，
∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A，
∴PA=1，
∴|x²-1|=1
即x²-1=1，或x²-1=-1，
解得x=±

2

，或x=0，
∴P点的坐标为：（

2

，1）或（-

2

，1）或（0，-1）．

（3）根据y=x²-1，
设P（m，m²-1），利用⊙P与两坐标轴都相切，
则m=-m²-1，或-m=m²-1，
∵△=1-4＜0，
∴上面等式不成立，
故不存在⊙P满足⊙P与x轴和y轴同时相切的情况；

点评：此题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的综合应用、直线与圆的位置关系，图象上点的性质以及切线的性质，利用在图象上点的坐标特点表示出线段长度是解题关键．