Question

阅读下列材料：
问题：如图1，在?ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，∠EAB=60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
求证：EG=AG+BG．
小明同学的思路是：作∠GAH=∠EAB交GE于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）完成上面问题中的证明；
（2）如果将原问题中的“∠EAB=60°”改为“∠EAB=90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）作∠GAH=∠EAB交GE于点H，则∠GAB=∠HAE，先根据ASA定理得出△ABG≌△AEH，由∠GAH=∠EAB=60°可知△AGH是等边三角形，故可得出结论；
（2）作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H，先根据ASA定理得出△ABG≌△AEH，故可得出BG=EH，AG=AH，根据∠GAH=∠EAB=90°可知△AGH是等腰直角三角形，所以

2

AG=HG，由此可得出结论．

解答：解：（1）证明：如图1，作∠GAH=∠EAB交GE于点H，则∠GAB=∠HAE．
∵∠EAB=∠EGB，∠GAB=∠HAE，
∴∠ABG=∠AEH．
∵又∵AB=AE，
∴

∠GAB=∠HAE AB=AE ∠ABG=∠AEH

∴△ABG≌△AEH．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=60°，
∴△AGH是等边三角形．
∴AG=HG．
∴EG=AG+BG；

（2）线段EG、AG、BG之间的数量关系是EG=

2

AG-BG．
理由如下：
如图2，作∠GAH=∠EAB交GE的延长线于点H，则∠GAB=∠HAE．
∵∠EGB=∠EAB=90°，
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．
∴∠ABG=∠AEH．
又∵AB=AE，
∴

∠HAE=∠GAB AB=AE ∠AEH=∠ABG

，
∴△ABG≌△AEH．
∴BG=EH，AG=AH．
∵∠GAH=∠EAB=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形．
∴

2

AG=HG，
∴EG=

2

AG-BG．

点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，难度适中．