Question

如图，△ABC中，∠B=45°，O为AC上一个动点，过O作∠POQ=135°，且∠POQ与AB交于P，与BC交于Q
（1）若=1，=1，则=______．（如图1）
（2）若=，=，求的值，写出求解过程．（如图2）
（3）若=，=，则=______．（如图3）

Answer 1

解：（1）∵∠B=45°，∠POQ=135°，
∴P，B，Q，O四点共圆，
∵=1，=1，
∴∠PBO=∠OBC，
∴PO=QO，
∴=1；

（2）过O作OM⊥BA的延长线于M，O，作ON⊥BC的于N，连BO，
先证△OMP∽△ONQ，
得=，
又==，
即可得=；

（3）过O作OM⊥BA的延长线于M，O作ON⊥BC的于N，连BO，
先证△OMP∽△ONQ，
得=，
∴=，
∴=．
分析：（1）根据四点共圆的性质以及圆周角定理求出即可；
（2）过O作OM⊥BA的延长线于M，O作ON⊥BC的于N，连BO，先证△OMP∽△ONQ，再根据相似三角形的性质与相关三角形的面积比的关系求出的值；
（3）与（2）互逆．
点评：本题结合三角形的面积计算考查了相似三角形的判定和性质，其中（2）与（3）之间互为逆运算．