Question

【题目】有这样一个问题：探究函数y＝x+|x﹣2|的图象与性质

小明根据学习函数的经验，对函数y＝x+|x﹣2|的图象与性质进行了探究

下面是小明的探究过程，请补充完成：

（1）化简函数解析式，当x≥2时，y＝　 　；当x＜2时，y＝　 　；

（2）根据（1）中的结果，请在图1的坐标系中画出函数y＝x+|x﹣2|的图象；

（3）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：　 　；

（4）结合画出的函数图象，利用图2解决问题，若关于x的方程ax+1＝x+|x﹣2|有两个实数根，直接写出实数a的取值范围：　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x﹣2； y＝2；（2）详见解析；（3）当x＞2时，y随x的增大而增大；（4）0.5＜a＜2．

【解析】

（1）根据题目中的函数解析式，可以分别写出x≥2和x＜2时的函数解析式；

（2）根据（1）中的结果，可以在图1的坐标系中画出函数y＝x+|x﹣2|的图象；

（3）根据（1）中的函数图象，可以写出函数y＝x+|x﹣2|的一条性质，本题答案不唯一，只要符合题意即可；

（4）根据一次函数与方程的关系，可以得到关于x的方程ax+1＝x+|x﹣2|有两个实数根时，a的取值范围．

（1）当x≥2时，y＝x+|x﹣2|＝x+x﹣2＝2x﹣2，

当x＜2时，y＝x+|x﹣2|＝x+2﹣x＝2，

故答案为：2x﹣2，2；

（2）当x≥2时，y＝2x﹣2过点（2，2），（3，4），

函数y＝x+|x﹣2|的图象如图1所示；

（3）由图象可知，

当x＞2时，y随x的增大而增大，

故答案为：当x＞2时，y随x的增大而增大；

（4）∵y＝ax+1的函数图象一定过点（0，1）

∴当y＝ax+1中的a＝2时，直线y＝ax+1与直线y＝x+|x﹣2|有一个交点，

当a≥2或a＜0时，y＝ax+1与y＝x+|x﹣2|有一个交点，

当直线y＝ax+1过点（2，2）时，2＝2a+1，得a＝0.5，故当0≤a＜0.5时，y＝ax+1与y＝x+|x﹣2|没有交点，当a＝0.5时，y＝ax+1与y＝x+|x﹣2|有一个交点，

由上可得，关于x的方程ax+1＝x+|x﹣2|有两个实数根，实数a的取值范围是：0.5＜a＜2，

故答案为：0.5＜a＜2．