Question

17．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．
（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．

解答 （1）证明：连接AC，如图1：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，
∵AF=AE，
∴AC⊥EF，
∴EG∥BD．
又∵菱形ABCD中，ED∥BG，
∴四边形EGBD是平行四边形．
（2）解：过点A作AH⊥BC于H．
∵∠FGB=30°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABH=2∠DBC=60°，
∵GB=AE=1，
∴AB=AD=2，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，
∴AH=$\sqrt{3}$，BH=1．
∴GH=2，
在Rt△AGH中，
根据勾股定理得，AG=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．