Question

7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．

Answer 1

分析 连接EC，由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分，即O为AC中点，再由OE垂直AC，得到OE垂直平分AC，即AE=CE，在直角三角形EDC中，设EC=AE=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到EC的长，即为AE的长，利用勾股定理求出AC的长，进而求出OA的长，在直角三角形AOE中，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠OEA的值．

解答 解：连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，∠ABC=90°，
利用勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，即OA=5，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
在Rt△EDC中，设EC=AE=x，则有ED=AD-AE=8-x，DC=AB=6，
根据勾股定理得：x²=（8-x）²+6²，
解得：x=$\frac{25}{4}$，
∴AE=$\frac{25}{4}$，
在Rt△AOE中，sin∠OEA=$\frac{OA}{AE}$=$\frac{4}{5}$．

点评 此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．