某公园管理人员在巡视公园时.发现有一条圆柱形的输水管道破裂.通知维修人员到场检测.维修员画出水平放置的破裂管道有水部分的截面图．(1)请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面(不写作法.但应保留作图痕迹),(2)维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽AB=$12\sqrt{3}$cm.水面最深地方的高度为6cm.请你求出这个圆形截面的半径r及破裂管� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管道破裂，通知维修人员到场检测，维修员画出水平放置的破裂管道有水部分的截面图（如图）．
（1）请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面（不写作法，但应保留作图痕迹）；
（2）维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽AB=$12\sqrt{3}$cm，水面最深地方的高度为6cm，请你求出这个圆形截面的半径r及破裂管道有水部分的截面图的面积S．

分析（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；
（2）先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出BD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径，解直角三角函数求得∠DOB=60°，然后根据S=S_{扇形OACB面积}-S_△OAB面积求得即可．

解答解：（1）如图：

（2）过点O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，则CD=6cm．
∵OC⊥AB，
∴BD=$AD=\frac{1}{2}AB$，
∵$AB=12\sqrt{3}$cm，
∴BD=$AD=6\sqrt{3}$cm，
∵半径为rcm，则OD=（r-6）cm，
在Rt△BOD 中，由勾股定理得：

BD²+OD²=BO²，
∴${（6\sqrt{3}）^2}+{（r-6）^2}={r^2}$，
解得r=12，
∴这个圆形截面的半径为12cm．
又∵设弧长AB所对圆心角为θ，则$∠DOB=\frac{1}{2}θ$，
在Rt△BOD中，BD=$6\sqrt{3}$，OB=12，
∴$sin∠DOB=\frac{BD}{OB}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且∠DOB为Rt△BOD的一个内角，
求得$∠DOB=\frac{1}{2}θ$=60°
∴θ=120°
∵S=S_{扇形OACB面积}-S_△OAB面积=$\frac{120}{360}•π•{12^2}-\frac{1}{2}×12\sqrt{3}×6$
=$48π-36\sqrt{3}$（cm²）．

点评此题考查了垂经定理和勾股定理以及解直角三角形，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理求得OD、BD，根据解直角三角形求得∠DOB=60°．

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