Question

5．如图，边长为1的正方形ABCD，Q是CD上一动点（不与点C、D重合），连接AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于N点，连接AN交BD于点P，在点Q运动过程中有下列结论：①AM=MN；②BM•DP=1；③存在点Q，使得BN+DQ=1；④$\sqrt{2}$BM-BN=1．其中一定成立的是①②④．

Answer 1

分析 ①作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，由∠AMN=∠ABC=90°，得到A，B，N，M四点共圆，推出∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，得到等腰直角三角形AM=MN；
②由∠AMB=45°+∠DAM，∠DAP=45十∠DAM，得到∠DAP=∠BMA，根据相似三角形的性质得到BM：AD=AB：PD，于是得到BM．DP=AB．AD=1．
③由∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°在∠NAM内作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，构造全等三角形△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，推出∠UAN=∠UAQ，BN=NU，DQ=UQ，点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ≠1；
④作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，得到四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，得到△AMS≌△NMW证得AS=NW，推出AB+BN=SB+BW=2BW，由BW：BM=1：$\sqrt{2}$，得到$\frac{AN+BN}{BM}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，推出$\sqrt{2}$BM-BN=1．

解答 证明：①如图1，作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，
∵∠AMN=∠ABC=90°，
∴A，B，N，M四点共圆，
∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，
∴∠ANM=∠NAM=45°，
∴AM=MN；
∴①正确；
②∠AMB=45°+∠DAM，
∵∠DAP=45十∠DAM，
∴∠DAP=∠BMA，
又∵∠ABM=∠PDA=45°，
∴△ABM∽△PDA，
∴BM：AD=AB：PD，
∴BM．DP=AB．AD=1
故②正确；
③∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，
∴在∠NAM内作AU=AB=AD，且使∠BAN=∠NAU，∠DAQ=∠QAU，
∴△ABN≌△UAN，△DAQ≌△UAQ，有∠UAN=∠UAQ，BN=NU，DQ=UQ，
∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ≠1；
∴③错误；
④如图2，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，
∴四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，
∴△AMS≌△NMW，
∴AS=NW，
∴AB+BN=SB+BW=2BW，
∵BW=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BM，
∴AB+BN=2BW=2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$BM）=$\sqrt{2}$BM，
∴$\sqrt{2}$BM-BN=1，
∴④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线并运用有关知识理清图形中线段间的关系是解答本题的关键．