Question

14．在?ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，AF⊥CD于点F，交BE于点G，AH⊥BC于点H，交BE于点I．若BI=IG，且AI=3，则AE的长为（　　）

• A． 3
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 6
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得到对边平行，得出内错角相等，因为BE平分∠ABC，得到∠1=∠3，证得∠2=∠3，得到AB=AE，由△ABC∽△ADF，得到∠4=∠5，通过三角形全等推出BI=EG，由BI=IG，得到GE=IG，应用直角三角形的性质得出IE的长度，根据勾股定理解出结果．

解答 解：在?ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=AE，
∵AF⊥CD，AH⊥BC，
∴∠AHB=∠AFD=90°，
在平行四边形ABCD中，∠ABH=∠ADF，
∴△ABH∽△ADF，
∴∠4=∠5
在△ABI与△AEG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠4=∠5}\\{∠3=∠2}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABI≌△AEG，
∴BI=EG，∵BI=IG，
∴GE=IG，
∵AD∥BC，
∴∠DAH=∠AHB=90°，
∴IE=2AG=2AI=6，
∴AE=$\sqrt{{IE}^{2}{-AI}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 此题考查了平行四边形的性质、勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是证出△AIE是直角三角形并应用其性质．