Question

【题目】观察下列等式：

第1个等式：a1＝＝×（﹣）；

第2个等式：a2＝＝×（﹣）；

第3个等式：a3＝＝×（）；

第4个等式：a4＝＝×（）；

…

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝　 　＝　 　；第n（n为正整数）个等式：an＝　 　＝　 　；

（2）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值；

（3）数学符号f（x）＝f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），试求 的值．

Answer 1

【答案】（1），×（）；，×（）；

（2）；（3）

【解析】

（1）根据题干中的规律可得第5个等式，再总结规律可得的值等于和的差再乘以；

（2）将a1+a2+a3+a4+…+a100用各自的算式替换，再根据（1）中归纳的等式进行拆项计算；

（3）依据数学符号的概念，可得对应的算式，再利用前两问得到的拆项算法计算即可.

解：（1）按以上规律知第5个等式为a5＝＝×（），

第n个等式an＝＝×（）

（2）a1+a2+a3+a4+…+a100

＝+ + +…+

＝×（1﹣）+×（）+ ×（）+…+×（）

＝×（1﹣+ +…+）

＝×（1﹣）

＝×

＝；

（3）

＝+ + +…+.

＝3×（+…+）

＝3×[×（1﹣ ）+ ×（）+×（）+…+×（）]

＝1﹣+ ﹣+ ﹣+ ﹣+ ﹣+ ﹣ + ﹣﹣ ++

＝1+ + ﹣﹣﹣

＝．