Question

4．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，$\frac{AB}{A′B′}=\frac{AC}{A′C′}$．
求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．

Answer 1

分析 在AC上截取AD=A′C′，在AB上截取AE=A′B′，连接DE，先证明△ABC∽△AED，得出∠ADE=∠C=90°，再由HL证明Rt△AED≌Rt△A′B′C′，即可得出结论．

解答 证明：在AC上截取AD=A′C′，在AB上截取AE=A′B′，连接DE，如图所示：
∵$\frac{AB}{A′B′}=\frac{AC}{A′C′}$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴∠ADE=∠C=90°，∠C=∠C′=90°，
∴∠ADE=∠C′=90°，
在Rt△AED和Rt△A′B′C′中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=A′B′}\\{AD=A′C′}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△A′B′C′（HL），
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．

点评 本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．