Question

2．一足够深的簿壁柱形容器的底面积S₁=500cm²，放入一密度为0.6×10³kg/m³，高H=20cm，底面积S₂=450cm²的圆柱形木块（g=10N/kg）．求：
（1）当向容器内注入深度h₀=10cm的水时，木块对容器底是否有压力？如果有，为多大？
（2）再向容器内注水，待水深h=15cm时，木块所受的浮力为多少？若在木块上施一竖直方向的力，使容器内部底面受到的压强改变200Pa，这时木块下表面受到的水的压力为多少？

Answer 1

分析 （1）假设注水后木块恰好漂浮，此时木块浸入水中的深度为h₁，根据G=mg、$ρ=\frac{m}{V}$、V=Sh和F_浮=ρ_水gV_排列出等式，求出h₁，与h₀比较可判断木块对容器底是否有压力，再求出木块所受浮力和重力，利用力的合成计算压力大小；
（2）对柱形容器来说，容器底部受到液体压力的变化量=物体受到浮力的变化量．求出浮力变化量，原来浮力是54N（漂浮），可求得此时的浮力．再根据浮力产生的原因求解（物体并没有完全浸没），注意外力方向可能向上，可能向下．

解答 解：（1）假设注水后木块恰好漂浮，此时木块浸入水中的深度为h₁，
根据G=mg、$ρ=\frac{m}{V}$、V=Sh和F_浮=ρ_水gV_排可得，
ρ_木gS₂H=ρ_水gS₂h₁，
代入数据得：0.6×10³kg/m³×10N/kg×450×10^-4m²×0.2m=1.0×10³kg/m³×10N/kg×450×10^-4m²×h₁，
解得h₁=12cm，
因为h₁＞h₀，故问题（1）中木块对容器底有压力，
木块所受浮力：
${F}_{浮}^{′}$=ρ_水gS₂h₀=1.0×10³kg/m³×10N/kg×450×10^-4m²×0.1m=45N，
木块的重力：
G_木=ρ_木gS₂H=0.6×10³kg/m³×10N/kg×450×10^-4m²×0.2m=54N，
木块对容器底的压力：
F=G_木-${F}_{浮}^{′}$=54N-45N=9N，
（2）若水深h=15cm时，木块没有上浮，此时木块排开水的体积${V}_{排}^{′}$=S₂h=450×15×10^-6m³=6.75×10^-3m³，
木块受到的浮力${F}_{浮}^{″}$=${ρ}_{水}{gV}_{排}^{′}$=1.0×10³kg/m³×10N/kg×6.75×10^-3m³=67.5N，
因为${F}_{浮}^{″}$＞G_木，则木块会上浮，最终漂浮．
漂浮时的浮力${F}_{浮}^{″}$=G_木=54N．
若施加竖直方向的力，容器内底部受到的压力改变量△F=△p•S₁=200Pa×500×10^-4m²=10N，
木块受到浮力的改变量△F_浮=△F=10N，
若外力方向竖直向上，木块受到的浮力减小，
根据浮力产生原因可知，木块下底面受到水的压力F=F_浮1=${F}_{浮}^{″}$-△F_浮=54N-10N=44N，
若外力方向竖直向下，木块受到的浮力增大，
根据浮力产生原因可知，木块下底面受到水的压力F′=F_浮2=${F}_{浮}^{″}$+△F_浮=54N+10N=64N，
答：（1）当向容器内注入深度h₀=10cm的水时，木块对容器底是有压力，大小为9N；
（2）再向容器内注水，待水深h=15cm时，木块所受的浮力为45N；若在木块上施一竖直方向的力，使容器内部底面受到的压强改变200Pa，这时木块下表面受到的水的压力为44N或64N．

点评 此题考查阿基米德原理，涉及到重力、体积、密度、浮力公式的应用，力的合成，是一道综合性很强的题目，假设注水后木块恰好漂浮，此时木块浸入水中的深度为h₁，根据G=mg、$ρ=\frac{m}{V}$、V=Sh和F_浮=ρ_水gV_排列出等式，求出h₁，难度很大！