Question

13．对于n∈N^*，将n表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，当i=0时，a_i=1，当1≤i≤k时，a_i为0或1．记I（n）为上述表示中a_i为0的个数（例如1=1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×2⁰），故I（1）=0，I（4）=2，则
（1）l（8）=3；
（2）I（1）+I（2）+I（3）+…+I（2048）=9228．

Answer 1

分析 （1）根据题意，将n 表示为n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，实际是将十进制的数转化为二进制的数，
易得8=1×2³+0×2²+0×2¹+0×2⁰，由I（n）的意义，可得答案；
（2）由组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，8=1×2³+0×2²+0×2¹+0×2⁰，则I（8）=3；
（2）I（1）=0=0•2^-1，I（2）+I（3）=1=1•2⁰，
I（4）+I（5）+I（6）+I（7）=4=2•2¹，
I（8）+I（9）+…+I（15）=12=3•2²…，
所以I（1）+I（2）+I（3）+…+I（2048）
=0•2^-1+1•2⁰+2•2¹+…+10•2⁹+11
=9228．
故答案为：3，9228．

点评 本题考查了转化思想与二项式定理、等比数列的前n项和公式的应用问题，是综合性题目．