Question

4．过P（2，1）且两两互相垂直的直线l₁，l₂分别交椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1于A，B与C，D．
（1）求|PA|•|PB|的最值；
（2）求证：$\frac{1}{|PA||PB|}$+$\frac{1}{|PC||PD|}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意设出直线l₁的参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得t_A•t_B=-$\frac{8}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，由|PA|•|PB|=$\frac{8}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$=$\frac{8}{1+3si{n}^{2}θ}$，根据正弦函数图象及性质即可求得|PA|•|PB|的最值；
（2）由l₁⊥l₂，求得l₂的参数方程，并根据韦达定理求得|PC|•|PD|=丨t_C•t_D丨=$\frac{8}{1+3co{s}^{2}θ}$，表示出$\frac{1}{|PA||PB|}$+$\frac{1}{|PC||PD|}$，根据同角三角函数基本关系即可求证$\frac{1}{|PA||PB|}$+$\frac{1}{|PC||PD|}$为定值．

解答 解：（1）设直线l₁的倾斜角为θ，则l₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数）
代入椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$中，整理得：（cos²θ+4sin²θ）t²+（4cosθ+8sinθ）t-8=0，
∴由韦达定理可知：t_A•t_B=-$\frac{8}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，
∴|PA|•|PB|=$\frac{8}{co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$=$\frac{8}{1+3si{n}^{2}θ}$，
故|PA|•|PB|的最大值为8，最小值为2．
证明：（2）∵l₁⊥l₂，不妨设l₁的倾斜角小于l₂的倾斜角，
则l₂的倾斜角为$\frac{π}{2}$+θ，
因此直线l₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcos（\frac{π}{2}+θ）}\\{y=1+tsin（\frac{π}{2}+θ）}\end{array}\right.$（t为参数）
代入椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
整理得：（sin²θ+4cos²θ）t²+4（2cosθ-sinθ）t-8=0，
∴|PC|•|PD|=丨t_C•t_D丨=$\frac{8}{1+3co{s}^{2}θ}$，
∴$\frac{1}{|PA||PB|}$+$\frac{1}{|PC||PD|}$=$\frac{1+3si{n}^{2}θ}{8}$+$\frac{1+3co{s}^{2}θ}{8}$=$\frac{5}{8}$，
∴$\frac{1}{|PA||PB|}$+$\frac{1}{|PC||PD|}$为定值．

点评 本题考查直线的参数方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及正弦函数图象及性质，考查转化思想，属于中档题．