Question

20．如图，在多面体PQR-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD=2，∠DAB=60°，PD⊥面ABCD，PD=1，PQ∥DA，PR∥DC，且$PQ=\frac{1}{2}DA，PR=\frac{1}{2}DC$．
（1）求证：平面PQB⊥平面PBD； 
（2）求三棱锥P-BQR的体积．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得$BD=\sqrt{3}$，从而AD⊥DB，由PQ∥DA，得PQ⊥DB，从而PD⊥DA，由PQ∥DA，得PQ⊥PD，由此能证明平面PQB⊥平面PDB．
（2）B到平面PQR的距离等于P到平面ABCD的距离，由此能求出三棱锥P-BQR的体积．

解答 证明：（1）在△ABC中，AB=2AD=2，∠DAB=60°，
由余弦定理得$BD=\sqrt{3}$，∴AB²=AD²+BD²，
∴∠ADB=90°，即AD⊥DB，
∵PQ∥DA，∴PQ⊥DB，
∵PD⊥底面ABCD，DA?平面ABCD，
∴PD⊥DA，∵PQ∥DA，∴PQ⊥PD
又DB∩PD=D，∴PQ⊥平面PDB∵PQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PDB（6分）
解：（2）∵PQ∥DA，PR∥DC，
∴平面PQR∥平面ABCD，
∴B到平面PQR的距离等于P到平面ABCD的距离．
在平行四边形ABCD中，由题意得∠CDB=∠ABD=30°，
∴∠ADC=120°，从而∠RPQ=120°，
∴${S_{△QRP}}=\frac{1}{2}×PQ×PRsin∠RPQ=\frac{{\sqrt{3}}}{8}$，
∴三棱锥P-BQR的体积${V_{P-RQB}}={V_{B-PQR}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{8}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{24}$．（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．