【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若对任意的,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
;(2)实数
的取值范围是
.
【解析】试题分析:(1)当时,得到
和
,求得
和
的解集,即可求得函数的单调区间.
(2)不等式对任意的,不等式
恒成立,可转化为不等式
在
上恒成立,令
,单调性和极值(最值)即可求得实数
的取值范围.
试题解析:
(1)当时,
,
,
由,解得
,故函数
在区间
上单调递减;
由,解得
或
,
故函数在区间
上单调递增,
所以函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
;
(2)不等式,即
,所以对任意的
,不等式
恒成立,
可转化为不等式在
上恒成立,
令,
所以,当
时,
,
所以在
上单调递减,
所以,即
,
故在
上单调递减,
则,
故不等式恒成立,只需
,即
.
所以实数的取值范围是
.
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【题目】如图所示,已知点是抛物线
上一定点,直线
的斜率互为相反数,且与抛物线另交于
两个不同的点.
(1)求点到其准线的距离;(2)求证:直线
的斜率为定值.
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【题目】设圆的圆心为
,直线
过点
且与
轴不重合,
交圆
于
两点,过
作
的平行线交
于点
.
(1)证明:为定值,并写出点
的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,直线
交
于
两点,
为坐标原点,求
面积的取值范围.
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【题目】若定义域为的函数
同时满足以下三条:
(ⅰ)对任意的总有
(ⅱ)
(ⅲ)若则有
就称
为“A函数”,下列定义在
的函数中为“A函数”的有_______________
①;②
③
④
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【题目】已知函数对一切实数
都有
成立,且
.
(1)求的值;
(2)求的解析式;
(3)已知,设
:当
时,不等式
恒成立;Q:当
时,
是单调函数。如果满足
成立的
的集合记为
,满足Q成立的
的集合记为
,求A∩(CRB)(
为全集).
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【题目】已知函数f(x)=a﹣(a∈R)
(1)如果函数f(x)为奇函数,求实数a的值;
(2)证明:对任意的实数a,函数f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数.
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【题目】要制作一个容积为8m3 , 高为2m的无盖长方体容器,若容器的底面造价是每平方米200元,侧面造型是每平方米100元,则该容器的最低总造价为( )
A.1200元
B.2400元
C.3600元
D.3800元
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=1,BC=2,半圆O以BC为直径,平面ABCD垂直于半圆O所在的平面,P为半圆周上任意一点(与B、C不重合).
(1)求证:平面PAC⊥平面PAB;
(2)若P为半圆周中点,求此时二面角P﹣AC﹣D的余弦值.
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