Question

已知函数f(x)=loga

x+b

x-b

(a＞1，b＞0)．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）判断f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析：（1）由对数函数的意义可知

x+b

x-b

＞0，从而可求函数f（x）的定义域；
（2）利用f（-x）+f（x）=0可判断函数的奇偶性；
（3）设b＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）判断其符号即可知f（x）在（b，+∞）上的单调性，同理可知f（x）在（-∞，-b）上的单调性．

解答：解：（1）依题意可知

x+b

x-b

＞0，又b＞0，
∴x＞b或x＜-b，
∴函数f（x）的定义域为（-∞，-b）∪（b，+∞）；
（2）∵f（-x）+f（x）=loga

-x+b

-x-b

+loga

x+b

x-b

=loga

-x+b

-x-b

•

x+b

x-b

=log_a1
=0，
∴函数f（x）为奇函数；
（3）∵a＞1，设b＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=loga

x1+b

x1-b

-loga

x2+b

x2-b

=loga(

x1+b

x1-b

×

x2-b

x2+b

)＞log_a1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（b，+∞）上的单调递减；
同理可证f（x）在（-∞，-b）上单调递减；
故f（x）在（-∞，-b）与（b，+∞）上均为减函数．

点评：本题考查对数函数的定义域，考查对数函数的奇偶性与单调性，突出考查定义证明函数的单调性，属于中档题．