Question

已知直角三角形ABC，其中∠ABC=60°，∠C=90°，AB=2，求△ABC绕斜边AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．

Answer 1

考点：组合几何体的面积、体积问题

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：以斜边AB为轴旋转一周，所得旋转体的形状是AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体，几何体的表面积是两个圆锥的侧面积之和，分别计算出两个圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式；即可求出旋转体的表面积；计算出底面半径及两个圆锥高的和，代入圆锥体积公式，即可求出旋转体的体积．

解答： 解：如图以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体是以AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体
∵AB=2，CB=1，∠B=60°
∴CB=sin30°•AB=1，CA=cos30°•AB=

3

，
CO=

AC•CB

AB

=

3

2

，
故此旋转体的表面积，S=π×OC×AC+π×OC×BC=π×

3

2

×（

3

+1）=

3+ 3

2

π．
故此旋转体的体积V=

1

3

•πr²•h=

1

3

•π•CO²•AB=

1

3

×π×

3

4

×2=

π

2

．

点评：本题考查旋转体的表面积与体积的求法，判断旋转体的形状，旋转半径以及母线长，求出几何体的高是解答问题的关键．