【题目】已知函数.
(1)若在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(2)若函数,求函数
的值域.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)由参变量分离法得出在
上恒成立,构造函数
,考查该函数在
的单调性,利用单调性得出
,于此可得出实数
的取值范围;
(2)先得出,换元
,将问题转化为求函数
在
上的值域问题求解,然后分
、
、
三种情况讨论,可得出函数
在
上的值域,即为函数
的值域.
(1)当时,
,由
得
,即
,
构造函数,其中
,则
,
所以,函数在区间
上为增函数,则
,
由于不等式在
上恒成立,所以,
,因此,实数
的取值范围是
;
(2)由题意可得,令
,则
,其中
.
①当时,
,该函数的值域为
;
②当时,由于二次函数
的图象开口向下,对称轴为直线
,
此时,函数在
上单调递减,所以,
,
此时,该函数的值域为;
③当时,由于二次函数
的图象开口向上,对称轴为直线
,
此时,该函数在上单调递减,在
上单调递增,
则,此时,该函数的值域为
.
综上所述:当时,函数
的值域为
;
当时,函数
的值域为
.
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【题目】如图,已知点是椭圆
上的任意一点,直线
与椭圆交于
,
两点,直线
,
的斜率都存在.
(1)若直线过原点,求证:
为定值;
(2)若直线不过原点,且
,试探究
是否为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一种室内植物的株高(单位:
)与与一定范围内的温度
(单位:
)有,现收集了该种植物的
组观测数据,得到如图所示的散点图:
现根据散点图利用或
建立
关于
的回归方程,令
,
,得到如下数据:
且与
的相关系数分别为
、
,其中
.
(1)用相关系数说明哪种模型建立关于
的回归方程更合适;
(2)(i)根据(1)的结果及表中数据,求关于
的回归方程;
(ii)已知这种植物的利润(单位:千元)与
、
的关系为
,当
何值时,利润的预报值最大.
附:对于样本,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
,
相关系数,
.
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【题目】某单位有车牌尾号为的汽车
和尾号为
的汽车
,两车分属于两个独立业务部分.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计,在非限行日,
车日出车频率
,
车日出车频率
.该地区汽车限行规定如下:
车尾号 |
|
|
|
|
|
限行日 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 |
现将汽车日出车频率理解为日出车概率,且,
两车出车相互独立.
(I)求该单位在星期一恰好出车一台的概率.
(II)设表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和,求
的分布列及其数学期望
.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,倾斜角为
的直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点,若点
的极坐标为
,直线
经过点
且与曲线
相交于
两点,设线段
的中点为
,求
的值.
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【题目】已知点P是椭圆上的动点,
、
为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若M是
的角平分线上的一点,且F1M⊥MP,则|OM|的取值范围是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】高斯函数是数学中的一个重要函数,在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设,用符号
表示不大于
的最大整数,如
,则
叫做高斯函数.给定函数
,若关于
的方程
有5个解,则实数
的取值范围为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图1 ,正方形的边长为
分别是
和
的中点,
是正方形的对角线
与
的交点,
是正方形两对角线的交点,现沿
将
折起到
的位置,使得
,连结
(如图2).
(1)求证:;
(2)求三棱锥的高.
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