Question

【题目】若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：法一：(换元法)
设t＝2x(t>0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)
原方程有实根，即方程(*)有正根．
令f(t)＝t2＋at＋a＋1.
①若方程(*)有两个正实根t1 ， t2 ，
则 解得－1＜a≤2－2 ；
②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1<0，解得a<－1；
③当a＝－1时，t＝1，x＝0符合题意．
综上可知实数a的取值范围是(－∞，2－2 ]．
法二：(分离变量法)
由方程，解得a＝－ ，设t＝2x(t>0)，
则a＝－ ＝－
＝2－ ，其中t＋1>1，
由基本(均值)不等式，得(t＋1)＋ ≥2 ，当且仅当t＝ －1时取等号，故a≤2－2 .
综上可知实数a的取值范围是(－∞，2－2 ]．
【解析】先换元，令t=2x ， 则关于 t 方程为t2+at+a+1=0 有实根，令,结合基本不等式即可解出实数m的取值范围．或者用分离参数，利用基本不等式，即可求得实数m的取值范围．