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已知函数f(x)=log
1
2
[x2-2(2a-1)x+8](a∈R)
(1)若使函数f(x)在[a,+∞﹚上为减函数,求a的取值范围;
(2)当a=
3
4
时,求y=f(sin(2x-
π
3
)
),x∈[
π
12
π
2
]的值域.
(3)若关于x的方程f(x)=-1+log
1
2
(x+3)
在[1,3]上有且只有一解,求a的取值范围.
(1)∵函数f(x)在[a,+∞﹚上为减函数,
2a-1≤a
a2-2(2a-1)a+8>0

-
4
3
<a≤1

(2)当a=
3
4
时,f(x)=log
1
2
(x2-x+8)

∴y=f(sin(2x-
π
3
)
)=log
1
2
[sin(2x-
π
3
)-
1
2
]2+
31
4

∵x∈[
π
12
π
2
],∴-
π
6
2x-
π
3
3
,∴-
1
2
≤sin(2x-
π
3
)≤1
∴函数的值域为[log
1
2
10,log
1
2
35
4
];
(3)原方可化为x2-2(2a-1)x+8=2x+6>0,
4a=x+
2
x
,x∈[1,3],由双勾图形可知:3<4a≤
11
3
或4a=2
2

3
4
<a≤
11
12
或a=
2
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练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函数f(x)在P(0,f(0))的切线方程为y=5x+1,求实数a,b的值:
(2)当a<3时,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx
的图象在点P(2,f(2))处的切线方程为l:y=x+b
(1)求出函数y=f(x)的表达式和切线l的方程;
(2)当x∈[
1
e
,e]
时(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a为常数),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线l的方程及a的值;
(2)当k>0时,试讨论方程f(1+x2)-g(x)=k的解的个数.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b为实数,x∈R,a∈R.
(1)当1<a<2时,若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(3)试讨论函数F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的极值点的个数.

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