Question

5．已知α，b，c均为正数，且a+b+2c=1，则$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}$=（$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}$）[（a+b）+2c]=3+$\frac{2c}{a+b}$+$\frac{a+b}{c}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵α，b，c均为正数，且（a+b）+2c=1，
∴$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}$=（$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}$）[（a+b）+2c]
=3+$\frac{2c}{a+b}$+$\frac{a+b}{c}$≥3+2$\sqrt{\frac{2c}{a+b}•\frac{a+b}{c}}$=3+2$\sqrt{2}$
当且仅当$\frac{2c}{a+b}$=$\frac{a+b}{c}$即a+b=$\sqrt{2}$c时取等号．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题．