Question

7．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{4}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-2π，0]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用三角函数的周期公式即可计算得解．
（2）由x∈[-2π，0]，可求$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，利用正弦函数的图象和性质可得：sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，从而可求f（x）在区间[-2π，0]上的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$×$\frac{1-cos\frac{x}{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
（2）∵x∈[-2π，0]，
∴$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，可得：sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$∈[-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0]．
∴f（x）在区间[-2π，0]上的最小值为-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．