Question

19．已知数列{a_n}的前n项和的公式为S_n=32n-n²+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）数列{a_n}的前多少项和最大？最大值为多少？

Answer 1

分析 （1）由前n项和求通项公式，分类讨论即可；
（2）可判断数列{a_n}是单调递减数列，且a₁₆=33-32=1，a₁₇=33-34=-1；从而求得．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=32-1+1=32，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=（32n-n²+1）-（32（n-1）-（n-1）²+1）
=33-2n，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{32，n=1}\\{33-2n，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）∵a_n=$\left\{\begin{array}{l}{32，n=1}\\{33-2n，n≥2}\end{array}\right.$，
∴数列{a_n}是单调递减数列，
且a₁₆=33-32=1，a₁₇=33-34=-1；
∴数列{a_n}的前16项和最大，
最大值为S₁₆=32×16-16²+1=257．

点评 本题考查了数列的前n项和与通项公式的关系应用，同时考查了分类讨论的思想应用．