Question

4．已知△ABC，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知c=$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{1}{3}$，sinA=$\sqrt{2}$cosB
（1）若函数f（x）=sin²x-2acos²x（x∈R），求函数f（x）的最值；
（2）若将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$单位长度，再将其横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，得到g（x）的图象，求g（x）的表达式及对称轴方程．

Answer 1

分析 求解三角形得到a的值．
（1）把求得的a代入f（x）=sin²x-2acos²x，利用二倍角的余弦降幂后求得函数最值；
（2）直接利用函数的图象平移求得g（x）的表达式，再由相位终边在x轴上求得g（x）的对称轴方程．

解答 解：∵cosC=$\frac{1}{3}$，C∈（0，π），
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}=\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵A+B+C=π，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{1}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosB，
又sinA=$\sqrt{2}$cosB，
∴$\sqrt{2}$cosB=$\frac{1}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosB，
∴tanB=$\sqrt{2}$，则sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则sinA=$\sqrt{2}cosB=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，得$a=c•\frac{sinA}{sinC}=\sqrt{5}×\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$．
（1）f（x）=sin²x-2acos²x=sin²x-2×$\frac{\sqrt{15}}{2}$cos²x
=$\frac{1-cos2x}{2}-\sqrt{15}$$\frac{1+cos2x}{2}$=$-\frac{1+\sqrt{15}}{2}cos2x+\frac{1-\sqrt{15}}{2}$．
∴f（x）_max=1；
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$单位长度，得f（x-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{1+\sqrt{15}}{2}cos2（x-\frac{π}{6}）+\frac{1-\sqrt{15}}{2}$
=$-\frac{1+\sqrt{15}}{2}cos（2x-\frac{π}{3}）+\frac{1-\sqrt{15}}{2}$，
再将其横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，得
g（x）=$-\frac{1+\sqrt{15}}{2}cos（4x-\frac{π}{3}）+\frac{1-\sqrt{15}}{2}$．
由$4x-\frac{π}{3}=kπ$，得$x=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{4}，k∈Z$，
∴g（x）的对称轴方程为$x=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{4}，k∈Z$．

点评 本题考查三角形的解法，考查了三角函数的图象平移，训练了函数最值的求法，是中档题．