Question

12．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}+t}{{a}_{n}+1}$，则（　　）

• A． 当t∈（0，1）时，{a_n}为递减数列
• B． 当t∈（0，1）时，{a_n}为递增数列
• C． 当t∈（1，+∞）时，{a_n}为递减数列
• D． 当t∈（1，+∞）时，{a_n}为递增数列．

Answer 1

分析 由特征根法求出数列的通项公式得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}+t}{{a}_{n}+1}$，得$\frac{{a}_{n+1}-\sqrt{t}}{{a}_{n+1}+\sqrt{t}}=\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}•\frac{{a}_{n}-\sqrt{t}}{{a}_{n}+\sqrt{t}}$，
即数列{$\frac{{a}_{n}-\sqrt{t}}{{a}_{n}+\sqrt{t}}$}是以$\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}$为首项，以$\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}$为公比的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}-\sqrt{t}}{{a}_{n}+\sqrt{t}}$=$（\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}）^{n}$，
∴${a}_{n}=\frac{\sqrt{t}[1+（\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}）^{n}]}{1-（\frac{1-\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}}）^{n}}$，
∴当t∈∈（0，1）时，{a_n}为递减数列．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，是中档题．