Question

9．已知x+y=$\frac{π}{6}$，求cosx•cosy的最大值．

Answer 1

分析 由已知把y用含有x的代数式表示，然后利用两角差的余弦、降幂公式及辅助角公式化简得答案．

解答 解：∵x+y=$\frac{π}{6}$，
∴cosx•cosy=cosx•cos（$\frac{π}{6}-x$）=cosx（$cos\frac{π}{6}cosx+sin\frac{π}{6}sinx$）
=cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}cosx+\frac{1}{2}sinx$）=$\frac{1}{4}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}co{s}^{2}x$
=$\frac{1}{4}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x）+\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{3}）+\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴cosx•cosy的最大值为$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查三角函数最值的求法，考查三角恒等变换在解题中的应用，是中档题．