Question

19．在直角梯形BCEF中，BF∥EC，且EF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{3}$CE，EF⊥EC，A为BF的中点，ED=$\frac{1}{3}$EC，现沿直线AD将四边形ADEF折起，如图2，使得平面ADEF⊥平面ABCD，M为CE的中点．

（1）证明：BM∥平面ADEF；
（2）求平面ADEF与平面BEC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面平行的性质定理即可证明BM∥平面ADEF；
（2）根据二面角的定义作出二面角的平面角进行求解即可．

解答 （1）证明：∵EF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{3}$CE，
∴CE=3EF，BF=2BF，
则AB=AF，CD=2EF，
∵ED=$\frac{1}{3}$EC，
∴ED=EF
则CD=2AB，
取CD的中点H，连接MH，BH，
则MH是△CDE的中位线，则MH∥DE，
四边形ABHD是正方形，
则BH∥AD，
∵MH∩BH=H，
∴平面BMH∥平面ADEF，
∵BM?平面平面BMH，
∴BM∥平面ADEF；
（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面BMH∥平面ADEF，
∴平面BMH⊥平面ABCD，
过H作GH⊥BM，连接CG，
则CG⊥GH，
即∠CGH是平面BMH与平面BEC所成的二面角，同时也是平面ADEF与平面BEC所成的角，
设EF=1，则DE=1，MH=$\frac{1}{2}$，BH=AD=1，CH=1，
则BM=$\sqrt{M{H}^{2}+B{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
则$\frac{1}{2}$MH•BH=$\frac{1}{2}$BM•GH，
则GH=$\frac{MH•BH}{BM}$=$\frac{\frac{1}{2}×1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，CG=$\sqrt{C{H}^{2}+G{H}^{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，
则cos∠CGH=$\frac{GH}{CG}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{30}}{5}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即平面ADEF与平面BEC所成的锐二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及二面角的计算，根据二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．