Question

9．复数z₁=2sin$θ-\sqrt{3}i$，z₂=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]；
（1）若z₁•z₂是实数，求cos2θ的值；
（2）若复数z₁、z₂对应的向量分别是$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$，存在θ使等式（$λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$）=0成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用复数的乘法化简复数，通过复数是实数求出θ，然后求解即可；
（2）写出复数z₁，z₂对应的向量，代入等式（$λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$）=0，展开数量积即可求得实数λ的取值范围．

解答 解：复数z₁=2sin$θ-\sqrt{3}i$，z₂=1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]．
（1）z₁•z₂=2sinθ+2$\sqrt{3}$cosθ+（4sinθcosθ-$\sqrt{3}$）i，
z₁•z₂为实数，可得4sinθcosθ-$\sqrt{3}$=0，sin2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得2θ=$\frac{2π}{3}$，
∴cos2θ=-$\frac{1}{2}$；
（2）复数z₁=2sinθ-$\sqrt{3}$i，z₂=1+（2cosθ）i，
复数z₁，z₂对应的向量分别是$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{a}$=（2sinθ，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，2cosθ），
（$λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$）=0，
∵${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=（2sinθ）²+（-$\sqrt{3}$）²+1+（2cosθ）²=8，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（2sinθ，-$\sqrt{3}$）•（1，2cosθ）=2sinθ-2$\sqrt{3}$cosθ，
∴（$λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$）=λ（${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$）-（1+λ²）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=8λ-（1+λ²）（2sinθ-2$\sqrt{3}$cosθ）=0，
化为sin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{2λ}{1+{λ}^{2}}$，
∵θ∈[$\frac{π}{3}，\frac{π}{2}$]，
∴（θ-$\frac{π}{3}$）∈[0，$\frac{π}{6}$]，∴sin（θ-$\frac{π}{3}$）∈[0，$\frac{1}{2}$]．
∴0≤$\frac{2λ}{1+{λ}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，解得λ≥2+$\sqrt{3}$或λ≤2-$\sqrt{3}$．
实数λ的取值范围是（-∞，2-$\sqrt{3}$]∪[2+$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数为实数的条件，训练了向量的数量积的应用，是中档题．