Question

20．已知函数f（x）=lnx
（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x²-1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；
（Ⅱ）证明：$|{f（x）-x}|＞\frac{f（x）}{x}+\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的$m∈[{0，\frac{3}{2}}]，x∈[{1，{e^2}}]$都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论．
（Ⅱ）构造函数h（x）=f（x）-x和G（x）=$\frac{f（x）}{x}+\frac{1}{2}$，求函数的导数，分别求出函数的最值进行比较比较即可．
（Ⅲ）利用参数分离法，转化为以m为变量的函数关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）g′（x）=2x，F（x）=tf（x）=tlnx，
F′（x）=tf′（x）=$\frac{t}{x}$，
∵F（x）=tf（x）与函数g（x）=x²-1在点x=1处有共同的切线l，
∴k=F′（1）=g′（1），
即t=2，
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-x，则h′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，则h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
∴h（x）的最大值为h（1）=-1，
∴|h（x）|的最大值是1，
设G（x）=$\frac{f（x）}{x}+\frac{1}{2}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，G′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
故G（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，
故G（x）_max=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2}$＜1，
∴$|{f（x）-x}|＞\frac{f（x）}{x}+\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）不等式mf（x）≥a+x对所有的$m∈[{0，\frac{3}{2}}]，x∈[{1，{e^2}}]$都成立，
则a≤mlnx-x对所有的$m∈[{0，\frac{3}{2}}]，x∈[{1，{e^2}}]$都成立，
令H（x）=mlnx-x，$m∈[{0，\frac{3}{2}}]，x∈[{1，{e^2}}]$是关于m的一次函数，
∵x∈[1，e²]，∴lnx∈[0，2]，
∴当m=0时，H（m）取得最小值-x，
即a≤-x，当x∈[1，e²]时，恒成立，
故a≤-e²．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，以及不等式恒成立问题，根据条件构造函数，求出函数的单调性和最值是解决本题的关键．