Question

12．已知直线y=$\sqrt{11}$x与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆上存在点P，使得△ABP是等边三角形，则椭圆C的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 联立直线y=$\sqrt{11}$x和椭圆方程，求得A，B的坐标，以及|OA|²，将直线OP方程为$x=-\sqrt{11}y$，代入椭圆方程，求得P的坐标及|OP|²，再由|OP|²=3|OA|²，结合离心率公式，可得e．

解答 解：因为$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{11}x\\{b^2}{x^2}+{a^2}{y^2}={a^2}{b^2}\end{array}\right.⇒{x^2}=\frac{{{a^2}{b^2}}}{{11{a^2}+{b^2}}}，{y^2}=\frac{{11{a^2}{b^2}}}{{11{a^2}+{b^2}}}$，
所以${|{OA}|^2}=\frac{{12{a^2}{b^2}}}{{11{a^2}+{b^2}}}$；
由题设直线OP方程为$x=-\sqrt{11}y$，
所以$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{11}y\\{b^2}{x^2}+{a^2}{y^2}={a^2}{b^2}\end{array}\right.⇒{y^2}=\frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2}+11{b^2}}}，{x^2}=\frac{{11{a^2}{b^2}}}{{{a^2}+11{b^2}}}$，
所以${|{OP}|^2}=\frac{{12{a^2}{b^2}}}{{{a^2}+11{b^2}}}$，
所以$\frac{{{{|{OP}|}^2}}}{{{{|{OA}|}^2}}}=\frac{{11{a^2}+{b^2}}}{{{a^2}+11{b^2}}}=3⇒\frac{{12-{e^2}}}{{12-11{e^2}}}=3⇒e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的对称性和等边三角形的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．