Question

3．如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF为等边三角形，O为AC与BD的交点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；
（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B-EC-D的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得BD⊥AC，BD⊥OF，由此能证明BD⊥平面ACEF．
（Ⅱ）由已知得AC⊥OF，OF⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-EC-D的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC
∵O为AC与BD的交点，∴O为BD的中点，
又△BDF为等边三角形，∴BD⊥OF，
∵AC?平面ACEF，OF?平面ACEF，AC∩OF=O，
∴BD⊥平面ACEF．
（Ⅱ）∵AF=FC，O为AC中点，∴AC⊥OF，
∵BD⊥OF，∴OF⊥平面ABCD，
建立空间直角坐标系O-xyz，不妨设AB=2，
∵∠DAB=60°，∴B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），
D（0，-1，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），F（0，0，$\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{CE}$，∴E（-2$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{BE}$=（-2$\sqrt{3}$，-1，$\sqrt{3}$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面BEC的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-2\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
则理求得平面ECD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
设二面角B-EC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{5}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-\frac{1}{25}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
∴二面角B-EC-D的正弦值为$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．