Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$．
（1）若cosC=$\frac{4}{5}$，求cos（A+C）；
（2）若b+c=5，A=$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）使用正弦定理将边化角，得出A，使用两角和的余弦公式计算；
（2）使用余弦定理求出bc，代入面积公式计算．

解答 解：（1）∵$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$，∴sinAsinB-$\sqrt{3}$sinBcosA=0，
∵sinB≠0，∴sinA-$\sqrt{3}$cosA=0，即tanA=$\sqrt{3}$．
∴A=$\frac{π}{3}$．
∵cosC=$\frac{4}{5}$，∴sinC=$\frac{3}{5}$．
∴cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．
（2）由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-7}{2bc}=\frac{（b+c）^{2}-2bc-7}{2bc}$=$\frac{18-2bc}{2bc}=\frac{1}{2}$，
∴bc=6．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正余弦定理的应用，属于中档题．