Question

5．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的6个顶点都在直径为13球O的球面，且AB=4，AC=3，AB⊥AC，则三棱柱的体积为72．

Answer 1

分析 △ABC是直角三角形，球心在平面B₁C₁CB的中心，根据球与棱柱的关系求出棱柱的高．

解答 解：∵AB=4，AC=3，AB⊥AC
∴球心O在平面B₁C₁CB的中心，BC=5，
过O作OD⊥平面ABC，在D为BC的中点，
∴OB=$\frac{13}{2}$，BD=$\frac{5}{2}$，
∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=6．
∴三棱柱的高h=2OD=12．
∴三棱柱的体积V=S_△ABC•h=$\frac{1}{2}×3×4×12$=72．
故答案为：72．

点评 本题考查了球与棱柱的关系，属于基础题．