Question

5．在矩形ABCD中，AB=3，BC=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EC}$，点F在边CD上，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AF}=3$，则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}$的值为（　　）

• A． 4
• B． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• C． 0
• D． -4

Answer 1

分析 根据条件可以求出$CE=\frac{\sqrt{3}}{3}，DF=1$，可分别以DC，DA所在直线为x，y轴，建立坐标系，可求出点A，E，B，F的坐标，从而得出向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BF}$的坐标，这样进行数量积的坐标运算便可求出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}$的值．

解答 解：如图所示，$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EC}$，∴$CE=\frac{1}{3}BC=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AF}=3$，∴AF•cos∠BAF=1，∴DF=1；
分别以DC，DA所在直线为x轴，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：
$A（0，\sqrt{3}），E（3，\frac{\sqrt{3}}{3}），B（3，\sqrt{3}），F（1，0）$；
∴$\overrightarrow{AE}=（3，-\frac{2\sqrt{3}}{3}），\overrightarrow{BF}=（-2，-\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}=-6+2=-4$．
故选D．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量数量积的计算公式，以及通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算．