Question

20．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，若此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m对称，则实数m的取值范围是-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$＜m＜$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 设椭圆上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x₀，y₀），利用点差法与直线y=4x+m可求得x₀=-m，y₀=-3m，点M（x₀，y₀）在椭圆内部，将其坐标代入椭圆方程即可求得m的取值范围．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，即有3x²+4y²-12=0，
设椭圆上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x₀，y₀），
则3x₁²+4y₁²=12，①
3x₂²+4y₂²=12 ②
①-②得：3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
即 3•2x₀•（x₁-x₂）+4•2y₀•（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=-$\frac{1}{4}$．
∴y₀=3x₀，代入直线方程y=4x+m得x₀=-m，y₀=-3m；
因为（x₀，y₀）在椭圆内部，
∴3m²+4•（-3m）²＜12，即3m²+36m²＜12，
解得-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$＜m＜$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
故答案为：-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$＜m＜$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查直线与椭圆的综合问题，着重考查点差法的应用，突出化归思想的考查，属于中档题．