Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，M为短轴端点，且S_△${\;}_{M{F}_{1}{F}_{2}}$=4，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点O作两条射线，与椭圆C分别交于A，B两点，且满足|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|．证明：点O到直线AB的距离为定值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$，两边平方，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即两条射线OA、OB互相垂直．讨论直线AB斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得O到直线的距离为定值．

解答 解：（1）因为椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，
由题意得${S_{△M{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}×2c×b=4$，$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a²=b²+c²，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=8}\\{{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1； 　
（2）由$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$，
即有$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$²+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$²-2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，
所以有$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即两条射线OA、OB互相垂直． 　　　　　　　　
当直线AB斜率不存在时，容易求出直线AB的方程为$x=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$或x=-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
此时原点与直线AB的距离$d=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$；
当直线AB斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+m，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$得x²+2（kx+m）²=8，
即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
则△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
即8k²-m²+4＞0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$；
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=$\frac{{k}^{2}（2{m}^{2}-8）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
即有3m²-8k²-8=0，
∴${m^2}=\frac{{8（{k^2}+1）}}{3}$，
∴O到直线AB的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{\frac{{8（{k^2}+1）}}{3}}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．
综上：O到直线AB的距离为定值$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，考查向量垂直的条件：数量积为0，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和点到直线的距离公式，属于中档题．