Question

14．若f（x）=xe^x-a有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{e}$，+∞）
• B． （0，$\frac{1}{e}$）
• C． （-$\frac{1}{e}$，+∞）
• D． （-$\frac{1}{e}$，0）

Answer 1

分析 利用函数与方程的关系，利用参数分离法进行分离，构造函数，求出函数的导函数，求出函数的最小值，根据函数的零点和最值关系即可得到结论．

解答 解：若f（x）=xe^x-a有两个零点，等价为f（x）=xe^x-a=0，即a=xe^x有两个根，
设h（x）=xe^x，
则函数h（x）=xe^x的导函数h′（x）=（x+1）e^x，
令h′（x）=0，则x=-1
∵当x∈（-∞，-1）时，h′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（-1，+∞）时，h′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
故当x=-1时，函数取最小值h（-1）=-e^-1，
∵当x≥0时，h（x）≥0，
当x＜0时，h（x）＜0，
∴若a=xe^x有两个根，
则$-\frac{1}{e}$＜a＜0，
故选：D

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键，利用导数是解决本题的关键．