Question

数列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=S_n（n≥1，n∈N^*），数列{b_n}是等差数列，其公差d＞0，b₁=1，且b₃、b₇+2、3b₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）由已知有S_n+1-S_n=S_n，即S_n+1=2S_n（n∈N^*），
∴{S_n}是以S₁=a₁=1为首项，2为公比的等比数列，∴S_n=2^n-1，
∴n≥2时，a_n=S_n-1=2^n-2，
∵a₁=1，不满足上式，∴a_n=；
∵b₃，b₇+2，3b₉成等比数列，
∴（b₇+2）²=b₃•3b₉，即（1+6d+2）²=（1+2d）•3（1+8d），
解得d=1或d=-（舍），
∴b_n=1+（n-1）×1=n；
（2）n=1时，T₁=a₁+b₁=2
n≥2时，T_n=a_n+b_n=（1+1+2+…+2^n-2）+（1+2+…+n）=1++=
综上，T_n=．
分析：（1）先确定{S_n}的通项，再由a_n+1=S_n，得数列{a_n}通项公式，利用数列{b_n}是等差数列，其公差d＞0，b₁=1，且b₃、b₇+2、3b₉成等比数列，求出数列{b_n}的公差，可求得数列{b_n}的通项公式；
（2）分类讨论，再分组求和，即可求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列递推式，考查学生的计算能力，确定数列的通项是关键．