Question

13．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②$f（\frac{x}{3}）=\frac{1}{2}f（x）$；③f（1-x）=1-f（x）．则$f（\frac{1}{3}）+f（\frac{1}{8}）$=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由已知函数f（x）满足的三个条件求出f（1），f（$\frac{1}{2}$），f（$\frac{1}{3}$），进而求出f（$\frac{1}{9}$），f（$\frac{1}{6}$）的函数值，又由函数f（x）为非减函数，求出f（$\frac{1}{8}$）的值，即可得到答案．

解答 解：∵f（0）=0，f（1-x）=1-f（x），
令x=1，则f（0）=1-f（1），解得f（1）=1，
令x=$\frac{1}{2}$，则f（$\frac{1}{2}$）=1-f（$\frac{1}{2}$），解得：f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$．
又∵$f（\frac{x}{3}）=\frac{1}{2}f（x）$，
∴f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
又由f（x）在[0，1]上为非减函数，
故f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{4}$，
∴f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．