Question

已知等差数列{a_n}的前9项和为153．
（1）数列{a_n}中是否存在确定的项？若存在，求出该确定的项，若不存在，请说明理由．
（2）若a₂=8，从数列{a_n}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2ⁿ项，按原来的顺序构成新数列{b_n}，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求使m•（a_n-2）＜T_n+6恒成立的最大正整数m．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）S9=

9

2

(a1+a9)=9a₅=153，由此能求出数列{a_n}中存在确定的项．
（2）由a₂=8，a₅=17，得a_n=3n+2，利用分组求和法能求出T_n=3•2ⁿ⁺¹+2n-6，由此能求出使m•（a_n-2）＜T_n+6恒成立的最大正整数m．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的前9项和为153，
∴S9=

9

2

(a1+a9)=9a₅=153，
解得a₅=17．
∴数列{a_n}中存在确定的项a₅=17．
（2）∵a₂=8，a₅=17，
∴d=

17-8

5-2

=3，a_n=8+（n-2）×3=3n+2，
∴a2n=3×2ⁿ+2，
T_n=a₂+a₄+a₈+…+a 2n
=3（2+4+8+…+2ⁿ）+2n
=3×

2(1-2n)

1-2

+2n
=3•2ⁿ⁺¹+2n-6．
∵m•（a_n-2）＜T_n+6，
∴m＜

2n+1

n

-

2

3

．
∴当n=1或n=2时，m＜4-

2

3

=

10

3

，
∴使m•（a_n-2）＜T_n+6恒成立的最大正整数m=3．

点评：本题考查数列中是否存在确定的项的判断与求法，考查使m•（a_n-2）＜T_n+6恒成立的最大正整数m的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．