Question

若函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=

a+b

2

对称，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（　　）

• A、①
• B、②
• C、③
• D、③④

Answer 1

分析：对于①②，直接由图象得出在a处与b处切线斜率不相等，即可排除答案；
对于③，原函数为一次函数，其导函数为常数函数即可知道其满足要求；
对于④，先由图象找到对称中心即可判断其成立．

解答：解：因为函数y=f（x）的导函数在区间（a，b）上的图象关于直线x=

a+b

2

对称，即导函数要么图象无增减性，要么是在直线x=

a+b

2

两侧单调性相反；
对于①，由图得，在a处切线斜率最小，在b处切线斜率最大，故导函数图象不关于直线 x=

a+b

2

对称，故①不成立；
对于②，由图得，在a处切线斜率最大，在b处切线斜率最小，故导函数图象不关于直线x=

a+b

2

对称，故②不成立；
对于③，由图得，原函数为一次函数，其导函数为常数函数，故导函数图象关于直线 x=

a+b

2

对称，故③成立；
对于④，由图得，原函数有一对称中心，在直线x=

a+b

2

与原函数图象的交点处，故导函数图象关于直线 x=

a+b

2

对称，故④成立；
所以，满足要求的有③④．
故选  D．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数之间的关系．做这一类型题目，要注意运用课本定义，是对课本知识的考查，属于基础题，但也是易错题．