Question

（2010•武昌区模拟）已知函数f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为

π

4

．
（1）求a；
（2）设f（x）的导函数是f'（x），若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f'（n）的最小值；
（3）对实数m的值，讨论关于x的方程f（x）=m的解的个数．

Answer 1

分析：（1）根据函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为

π

4

，利用函数在某点的导数值等于函数图象在该点的切线的斜率，即可求得．
（2）分别计算f（m），f'（n）的最小值．利用导数在某个区间上的符号，确定函数单调性，进而确定函数最值．
（3）先求得f(0)=-4，f(

4

3

)=-

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．画出函数y=f（x）草图，根据y=f（x）与y=m的交点个数，可确定方程f（x）=m的解的个数．

解答：解：（1）f'（x）=-3x²+2ax．…（1分）
据题意，f′(1)=tan

π

4

=1
∴-3+2a=1，即a=2…（3分）
（2）由（1）知f（x）=-x³+2x²-4，f'（x）=-3x²+4x．

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f'（x）	-7	-	0	-	1
f（x）	-1		-4		-3

∴对于m∈[-1，1]，f（m）的最小值为f（0）=-4．…（6分）
∵f'（x）=-3x²-4x的对称轴为x=

2

3

，且抛物线开口向下，
∴x∈[-1，1]时，f'（x）最小值为f'（-1）与f'（1）中较小的
∵f'（1）=1，f'（-1）=-7
∴当x∈[-1，1]时，在f'（x）的最小值为-7…（7分）
∴当x∈[-1，1]时，在f'（n）的最小值为-7…（8分）
∴f（m）+f'（n）的最小值为-11
（3）求得f(0)=-4，f(

4

3

)=-

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．…（10分）
依题意可画出函数y=f（x）草图，得
当m＞-

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或m＜-4时，方程有一解；
当m=-

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或m=-4时，方程有两解；
当-4＜m＜-

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时，方程有三解；

点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数的最值问题，同时考查了数形结合的数学思想，解题的关键是正确利用导数工具．